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逻辑究竟是什么以及逻辑应当是什么?

2016-12-29 17:55:23 《哲学分析》2016年第2期 郝兆宽

那么,这样的逻辑对于哥德尔来说是否还是分析的呢?关于哥德尔的分析性概念,我们在文献中有较为详细的论述,在此不打算展开。(34)关键的一点是,哥德尔始终把“概念”视为脱离语言而独立存在的事物。经验主义所理解的那种因语词而真的分析性,哥德尔建议称之为“重言的”,而因概念的意义为真的命题才真正是分析的。他承认,罗素和怀特海《数学原理》中的系统(因为包含了集合论)不是重言的,但的确在他的意义上是分析的。(35)由此不难得出结论说,无论是逻辑中的集合论还是概念论,都是分析的。

最后一个问题是,哥德尔是否会支持弗雷格的逻辑主义。在断言逻辑包括集合论和概念论的同时,哥德尔又把数学与集合论联系起来,认为集合论为普通数学提供了基础,而概念论是“超出”集合的东西:

长久以来,逻辑和数学被混为一谈。一旦我们在集合与概念之间做出鲜明的区分并利用这种区分,我们就造就了几项进展。依照集合的迭代概念,我们有了普通数学的一个合理可信的基础。为了总体上把握逻辑,超越集合就成为可理解的,并且事实上必要的一步。(36)

他有时甚至断言集合论就等同于数学。所以,哥德尔是把数学作为逻辑的一部分来看待的。从这个意义上说,哥德尔自然是一个逻辑主义者。而且在他看来,由于集合论是普通数学的一个合理可信的基础,逻辑主义已经取得了成功。让弗雷格感到沮丧的罗素悖论从未对哥德尔造成困扰。一方面,他认为这个悖论根本不是集合概念或数学内在的矛盾,而是我们主观上的模糊认识造成的。另一方面,由于公理化集合论的出现,这个矛盾已经以一种令人满意的方式解决了。

这就引出了一个非常有趣的问题,弗雷格为何不能接受对罗素悖论的解决而竟然放弃他花费巨大心血的逻辑主义纲领?

为了拯救逻辑主义,至少有两种策略可供选择。一种是所谓的新逻辑主义(或新弗雷格主义)纲领,即放弃引起矛盾的基本原则五,把休谟原则作为初始的公理。所谓休谟原则指的是:

两个概念是等数的当且仅当落入这两个概念之下的对象之间有一一对应。(8)

弗雷格在《算术基础》(63节)中提出这个原则后,又认为它对于定义自然数是不够的,主要的理由是所谓的凯撒问题,即单凭这个原则我们不能确定“2=凯撒”是假的。为此,他(在《算术的基本原则》中)又引入了所谓的基本原则五(37):

两个概念的外延相等当且仅当落入这两个概念之下的对象是相同的。(9)

但是,基本原则五要求:

每个概念都有一个集合作为它的外延。(10)

正是这一点导致了罗素悖论。所以,自然的想法是不使用引起悖论的基本原则五,只使用休谟原则来发展弗雷格的逻辑主义计划。事实上,新逻辑主义在这一点上取得了很大的进展。赖特(Wright)证明,仅从休谟原则即可导出二阶皮亚诺算术的全部公理,而布罗斯则证明休谟原则很可能是一致的:如果数学分析是一致的,那么休谟原则也是一致的。有了这两个结果,似乎逻辑主义可以建立在休谟原则之上,剩下的问题只是确定休谟原则是一个逻辑公理。

但弗雷格本人似乎从未打算把休谟原则作为初始的逻辑公理来对待,否则他就不会再费力去求助于基本原则五,更不会在罗素证明基本原则五是矛盾的以后,宁可放弃自己的逻辑主义计划也不再重新考虑将休谟原则作为初始原理的可能性。麦克法兰对此的解释是:在弗雷格看来,休谟原则虽然不一定是矛盾的,但也不一定是一致的。它仅仅在如下意义上比基本原则五强:它尚未被证明是矛盾的。所以弗雷格怀疑的是休谟原则的真理性,而不是它作为逻辑命题的地位。

麦克法兰这样解释的目的是为他对弗雷格的逻辑观念的解读作辩护,避免把弗雷格拒绝休谟原则作为初始逻辑公理这一点当作反对他的理由,因为,休谟原则显然是一个“普遍的”命题,而麦克法兰坚持认为弗雷格把普遍性作为逻辑的基本标准。

休谟原则当然是弗雷格意义上的逻辑命题,在这一点上麦克法兰是对的。但是如果弗雷格仅仅是因为怀疑休谟原则的真理性而拒绝把它作为初始的原则,那就很难解释他为何一开始就不考虑用休谟原则完成《算术基础》的任务,而一定要以基本原则五作为初始原则。因为,休谟原则可由基本原则五(加上其他基本原则)推出,而那时(罗素悖论发现之前)弗雷格显然相信基本原则五是真的。

我们认为,唯一合理的解释是,休谟原则对弗雷格来说显然是不够的,不是不够推出算术的那些基本原则,而是不够为整个数学奠定逻辑的基础。为了后者,弗雷格需要一个更强的逻辑观念,正如戈德法布正确指出的,他要求每个概念都有一个“清晰的外延”,因为

对于弗雷格来说,所有量词变元都有不加限制的变域。假定这一点,同时假定“”是逻辑定律,立刻会得到弗雷格所要求的(每个概念都有一个清晰的外延)。如果有一个概念,那它的一个表达式能够例示这个定律中的量词;因此我们能逻辑地得出,对每一个对象,此概念对它或者成立或者不成立。这就是弗雷格“清晰边界”所指的。(38)

所以,基本原则五也许对于建立算术的基础不是必要的,但对于弗雷格的逻辑观念来说却是必须的。从这个意义上说,新弗雷格主义不太可能会让弗雷格满意。

另一个拯救逻辑主义困境的方法是公理化集合论,在策梅洛(Zermelo)等人的公理化集合论中,罗素悖论因为限制了(10)(使用分离公理代替)而被排除,而且这种限制并没有影响从这些基本原则定义出全部数学概念。所以集合论可以恰当地被视为全部数学的一个合理基础。而且,弗雷格应该是可以接受集合论是逻辑的,因为它是普遍的原则,是所有“可思想的”对象的普遍规律。但是,与新逻辑主义的策略一样,公理化集合论仍然不能满足每个概念都有一个“清晰外延”的要求,所以仍然不能如弗雷格设想的那样,从外延的角度实现一个令人满意的概念理论。

从哥德尔的角度来看,弗雷格的错误在于没有区分“内涵的”和“外延的”,他的目标是有关概念的理论,但希望并坚信采取外延的方法可以实现这样一个令人满意的结果。罗素悖论的发现无非是证明:概念不可能完全用外延的方法来刻画。这种混淆在哥德尔之前是非常普遍的,所以王浩称,当哥德尔反复提醒他注意罗素悖论的两种不同表达方式——用集合和用概念——之间的重要区别时,感到十分惊讶。

但是,弗雷格的这个“错误”却反映了他与哥德尔之间更大的一致:从本质上讲逻辑是处理概念的,单纯的外延手段(集合论)即使能够建立起全部的数学基础,也不应该是逻辑的全部。而目前的情况是,我们离建立起全部数学基础还有很远的路要走。

至此,我们在本节中确立了如下事实:虽然弗雷格的逻辑观念几乎被主流哲学所遮蔽,但绝非是一种孤立的立场。哥德尔有关逻辑的观点是这种立场的深化和在一定意义上的哲学上的完成。以上事实(如果我们的理解,而不是通行的立场,是正确的话),使我们对现代逻辑史的一些重要问题有了合理的解释,例如对逻辑主义的评价及其“失败”和“失败原因”的误解;弗雷格对休谟原则作为初始真理的拒绝,等等。而在这之前,这些问题几乎总是处于混沌之中。

三、连续统问题——一个案例

作为方法论自然主义者,我们不认为纯粹的观念的争论有很大意义,除非这种争论在逻辑和数学研究的实践中真的发挥着作用。所以我们打算在最后一节将有关逻辑观念的争论与当前逻辑(集合论)研究中的一些最新的重要成果联系起来,以说明我们有关逻辑观念的讨论并非只是哲学家的自我陶醉的游戏。事实上,正是接触到这些引人注目的数学结果以后,我们才对当前流行的逻辑观念产生了疑问,并从弗雷格和哥德尔那里找到了看似合理的答案。

如前所述,在集合论领域,我们已经有了一个相对令人满意的公理系统ZFC。通常的数学都可以在它之中发展出来。但有一个问题却是ZFC无能为力的,这个问题就是“康托的连续统假设(CH)是不是真的?”(39)因为哥德尔和科恩分别在1938年和1963年证明:CH不是ZFC的定理,CH的否定也不是ZFC的定理。这意味着我们无法在这个“相对令人满意的”公理系统ZFC中回答上述问题!这种现象在集合论中被称为“独立性”现象,一个命题独立于ZFC当且仅当它和它的否定都不是ZFC的定理。(40)

面对这个现实,本文讨论的两种逻辑观念在此处也有着截然不同的立场,这也形成了当代集合论研究的两大流派。

形式主义者把ZFC视为一个形式系统,一个集合论语句S是真的当且仅当它是ZFC的定理,或者等价地说,当且仅当它在ZFC的所有模型中都真。(41)这就是说,所有满足ZFC的东西都可以称为集合。因此,从命题的角度看,形式主义把真等同于形式系统的证明。从集合概念的角度看,形式主义认为所有ZFC的模型都可被视为一个集合宇宙,它们的地位是同等的,并没有哪一个更特殊,更接近真实。站在这一立场上,连续统问题就是一个无意义的问题,因为CH及其否定既然都不是ZFC的定理,那它也就没有真值,既不是真的,也不是假的。例如,科恩就说:

……(选择形式主义的立场)这是一个有重大影响的选择。其中最重要的影响就是承认CH本身是无意义的,而CH也许是我们对不可数集合所能提出的第一个重要问题。(42)

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