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朱海文:20世纪数学发展谈数学哲学的几个问题

2017-11-13 11:44:46 中国社会科学网 朱海文

通过对20世纪数学的主流——结构数学的一些分析和讨论,指出了数学研究对象主要通过对现实世界的提炼和数学自身逻辑发展构造而来,这两种类型的对象互相影响,互相渗透。数学具有经验与演绎双重性质,并且有其超前性。算法思想将成为今后相当长一个时期数学的主要思想。

一、20世纪数学发展变化的特点

众所周知,20世纪的数学门类繁多,内容广泛,已经发展到了“隔行如隔山”的地步,但从20世纪数学理论发展的源流看,它不是从零开始的,它根植于过去数学的土壤之中,一些新概念、新思想的发生离不开旧的思想方法和理论体系,综合分析20世纪数学思想的发展变化呈如下的特点:

1.数学应用的广泛性

20世纪前本无“纯粹数学”与“应用数学”之分,但自50年代后出现了严重的分化趋势,西方世界采取行政手段解决这一问题,随之数学研究部门及各大学出现了许多新的系及专业,后又发现“纯粹数学”这些高度抽象的数学知识非但没有脱离实际,而且其所有分支都有引人注目的不可思议的应用价值。例如:拓扑学应用于生物学DNA结构;不动点理论应用于经济数学;数论应用于计算机科学、编码理论、密码设计技术、通讯理论;抽象代数应用于计算机科学、控制论语言、晶体物理、机器数学、图象设计;概率论应用于统计力学、量子化学、农业统计、生物数学、气象预报;超过三维的几何学和拓扑学应用于现代物理等等。

另一方面,应用科学、工程技术、生命科学以及经济管理科学等领域出现众多的数学问题又成为“纯数学研究”的课题甚至发展成为一系列新的应用数学分支。例如地质数学、生态数学、医学数学、金融数学等,发展沿着“良性循环”应用→理论应用→应用,这些抽象化、概念化的数学非但没有各自为政,互不关联,反而使得大量意想不到的关系不断涌现,给各种问题的解决提供了新的有力工具,特别是为解决经典问题打开了智慧之门。

2.数学理论的超前性

20世纪数学理论的研究对象远远超出经典数学的范围,日益显示出具有超前性和多样性。这为“广义相对论”、“量子力学”准备了强有力工具。

Poincare阐明的混沌理论为“现代混沌理论”奠定了思想方法基础;Hausdorff分维理论为“现代分形几何”建立了理论分析工具;Hamme基础理论为“现代小波理论”的前驱和思想方法基础,如此等等。

3.结构数学贯穿在20世纪数学发展的过程中,形成现代数学统一特征的核心

20世纪数学的主流—结构数学是研究抽象数学结构的科学,它是在集合论的基础上,由传统的数学方法中产生一批抽象的结构,这些结构大都可以通过公理法来定义,形成自己的问题和理论体系,并且衍生出一套相关的结构及理论。例如群可以表示成如下形式:

二元二次型→型的合成→交换群;代数方程→根的置换→置换群;图形的全同→全同运动→运动群;射影性质→射影变换→变换群。

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