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孙宏安:对“数学是什么”的哲学思考

2017-11-13 11:44:36 中国社会科学网 孙宏安

“数学是什么”是一个十分常见的问题,不仅数学家、数学教师、数学专业的学生常常提出这个问题,哲学工作者和科学工作者也有时提出这个问题,中学生甚至小学生也能提出这个问题。对于这个问题的回答则是多种多样、并不一致的,可能正是这一点引起人们的重视,本文就此做以探讨。

“数学是什么”是一个什么学科的问题

再具体一些,可以问:“数学是什么?是一个数学问题还是一个哲学问题”这对于问题的回答方式是大有关系的。显然,“数学是什么”的问题是一个关于数学自身的问题,关于数学整体的问题,在针对这一问题展开的研究中,“数学”是作为对象引入的,任何一门科学都不可能以自身为自己研究的对象,所以,“数学是什么”的问题是属于数学的元理论的问题。那么,数学的元理论是什么呢?按通常的说法,应该是数学学或是数学辩证法,但至今,尚未见到关于这门(或两门)学科的具体的论说,所以只好暂付缺如,而把数学学或数学辩证法的元理论——哲学作为数学的元理论了。这就是说,“数学是什么”是一个哲学问题而不是数学问题,这与我们一般在《哲学研究》、《自然辩证法研究》等期刊上看到有关的研究文章的观点是一致的。

有论者指出,“数学是什么”与“什么是数学”这两个问题是不对称的,非也。从逻辑的观点看,对“数学是什么”的回答是数学的一个定义,而定义的主谓是可以互换的,即互换后的语句与原语句等价,如“人是能制造工具的动物”与“会制造工具的动物是人”是等价的。至于“向量分析是数学”这种语句并不是完全句,它的相应的完全句表述应该是“向量分析是数学的一门分支学科”。所以,可以说,问“数学是什么”等价于问“什么是数学”为什么要问“数学是什么”这个问题可以从几个方面来回答。

其一,从人的认识发展来看,人的认识的主要特点之一是不断地对自己的认识进行反思。如果说针对客观事物的某种认识使人的思维由具体发展到抽象,那么对这种认识的反思则是思维由抽象发展到具体的必由之路。整体上看,各门科学对世界的认识都是指向世界的一个部分或一个领域的,在这个意义上可以说都是抽象的研究,对某门科学的反思自然地指向这门科学,指向世界的某一个部分或领域及其有怎样的意义和作用等,这就进入对世界的认识的具体化的过程。具体化的结果是形成对世界的整体或总体的认识,即所谓世界观。当然,这里所说的抽象和具体具有相对的即特定层次的性质。其实,每门科学认识自身的发展也是人的思维不断由具体发展到抽象再由抽象发展为具体的过程,不过,那是另一个层次上的抽象和具体。指导或者说引起这种反思的第一个问题就是“这门科学是什么”这就是说,提出“数学是什么”的问题是人们对数学认识发展的必然结果。从数学史的角度看,“数学是什么?”的问题是数学史上一再重复的问题,人们不仅经常问,而且在数学发展的每一个重大历史关头,人们还特别强调、特别严肃、特别认真地问“数学是什么”对数学的其他看法以及某些数学问题的解决还要依赖于对这个问题的回答,表明人们对数学的反思是经常地、不断地、反复地进行着的。

其二,从数学自身的发展来看,数学自身的发展也不断涉及“数学是什么”的问题,举其大者,就有以下三个方面

第一方面,数学基础研究。谈起数学基础人们自然会想起20世纪初的数学基础大论争,面对数学悖论人们不约而同地把“数学是什么”作为论证自己观点的论据,而为了展开这一论据,人们对“数学是什么”的问题做了大量探讨。实际上,数学悖论引起了这样一些数学基础问题:如何理解“数学的存在”、“数学的基础是什么”等。从反思的角度看,就是“数学是什么”的问题。人们对这些数学基础问题的回答也说明了这一点,例如,逻辑主义者认为,数学是逻辑,从而试图从逻辑推出整个数学来;直觉主义者认为,数学是创造性的(直觉)精神活动,从而提出数学的可构造性以及排中律不具有普遍性;形式主义者认为,数学是由形式符号构成的形式系统,从而提出数学的形式化方案和证明论。虽然,三大学派对数学的发展都起了推动作用,但是,他们提出的改造数学的方案都未获成功,除了别的原因外,数学并不是他们对“数学是什么”的问题的回答也是一个很重要的原因。这里应该充分注意的是,“数学是什么”的问题是一个哲学问题,因而有些数学问题的确依赖于这个哲学问题的解。例如,关于“连续统假设”——在自然数基数和实数连续统基数之间没有其他基数的证明就很典型:1938年哥德尔证明了连续统假设相对于ZF公理系统是无矛盾的;1963年柯恩证明了连续统假设相对于ZF系统是独立的。于是得出这样一个结论:在ZF系统中,连续统假设是不可判定的。这对于连续统假设意味着是得出这样一个结论:在ZF系统中,连续统假设是不可判定的。这对于连续统假设意味着什么?对“数学是什么”问题持不同回答的人的理解是不一样的。对于形式主义者来说,连续统假设已经解决了,因而,既可以建立连续统假设成立的集合论,也可以建立连续统假设不成立的集合论;而对于柏拉图主义者(认为,数学概念是客观存在的,数学是对一种独特的客观存在的表述)来说,连续统假设并没有得到解决,因为连续统的基数是客观存在的,它客观上有多大就只能是多大,而说其不可判定并未得到它的大小。这涉及到进一步的更深刻的问题:数学的命题是否应当用“真”“假”这样两个概念来评价?是否应当仅用“真”“假”来评价?数学中的真理是否超出了可证明的范围?而这些问题的解决自然又回归到数学命题是什么,数学证明是什么,归根到底“数学是什么”的问题上。而它们正是现代数学哲学的主要问题[1],可见“数学是什么”的问题具有重要的数学哲学意义。

第二方面,理论计算机科学研究。理论计算机科学亦即计算的理论研究随计算机的发展也有了决定性的进展。从20世纪30年代的计算概念的严格化到人工智能,从什么函数可计算到计算机不能干什么,从每秒进行5000次运算的第一台电子计算机到每秒进行12.3万亿次运算的现代超级电子计算机,从单纯的数值计算到复杂的信息处理,理论计算机科学成为人类发展最快的科学。在这门科学的迅速发展中,人们一再遇到计算机的“能力”的极限的问题。在电子计算机开始起步的1947年,人们就探讨了是否能制成“与人脑活动方式极为相似的机器”的问题[2],对后来有很大发展的人工智能来说,这个问题就进一步转化为“计算机能不能取代人的大脑即计算机能不能做好人的大脑能做的一切工作”的问题。一般要从怎样用计算机解决问题开始,人们认为要用计算机解决问题,有三个基本前提:把问题形式化;对形式化了的问题编出算法;算法能在可接受的时间内结束即算法有合理的复杂性[3]。而这三个方面都存在着“数学”困难:形式化问题遇到哥德尔定理——它指出任何包含了形式自然数算术系统的形式系统如果是无矛盾的,那么,一定是不完全的,即其中含有了不可判定的真命题,其实就是指出存在不能形式化的问题,一些问题没有算法即是不可判定的,还有一些问题有算法,但不能在可以接受的时间里算完(例如对一个稍微大一点的数用试除法作因数分解)。这些困难属于什么性质?是属于要解决的问题的领域,还是属于数学的领域,还是属于两个领域的关联?这种关联是否构成一个新的领域?为什么认为它们属于那一个领域?回答这些问题需要对数学领域和其他领域做出区分,这就必然涉及到“数学是什么”的问题。

第三方面,数学应用研究。数学应用也是一个古老而常新的话题,一方面,数学可以说就起源于应用,最古老的数学都是具有应用性质的数学;另一方面,应用数学是20世纪新兴的数学学科,而且是随着电子计算机的迅猛发展和广泛使用进而渗透到人类科学和人类活动的几乎所有的领域。在数学应用的过程中,出现了许多人们感到惊异的事情。一是数学结果与现实世界的高度一致,从数学能够用来成功地解决现实世界的许多问题就可以看出这一点。从纯数学的角度看,数学在现实世界的应用更看出这一点,从数学推导出来的结论竟然在现实世界中存在(如孤立子、黑洞等),这种一致令人吃惊。二是在某个学科中为着某种特定目的而建立的数学方法往往能够而且经常有效地应用于别的领域,例如流行病学中为研究传染病而建立的传染数学模型,后来成功地用于教育学中研究人们追求较高的教育程度的愿望和经济学中研究人们购买某种新产品的欲望;人口学中描述人群的出生和死亡的数学公式也能用于运筹学中描述电线杆或运载工具的变动情况[4]。人们惊异地问:这些风马牛的学科领域是否因为用了同样的数学工具而表明它们本质上也是一致的?三是数学方法在社会科学中的使用有时甚至决定了社会政治、经济的决策。例如经济学中应用不同的数学方法构成了不同的经济学派,它们往往提出不同的经济政策;在著名的美国众议院议员“名额分配问题”中,用不同的数学方法决定的分配方案使某些州的名额有所增减,竟引起了政治问题,有人甚至用数学方法证明了,完全公平的名额分配方法是不存在的;用数学方法证明的“阿罗不可能性定理”可以解释在政治领域中完全的民主是不可能的,在经济领域中完全自由的市场经济也是不可能的。为什么用数学结论可以做出这样的政治、经济、社会的解释呢?这些问题实质上可归结为:数学为什么能应用于普通事物?数学命题由证明产生的可靠性是怎样转移到它的应用之中的?这也是重要的现代数学哲学问题[1]。而对这些问题的解决甚至理解又不可避免地指向了“数学是什么”的问题。

其三,从人的活动需要来看,一个人们能够理解的但长期没有解决的问题,或一个有各种各样不同的解答方案的问题,都将引起人们的兴趣。从心理学来说,就是它将使人们长期处于问题情境之中:一个没有解决的问题,使人们感受到欲解决问题而知识不够的障碍;一个有多种可能解决的问题,使人们感受到欲从多种可能中做出选择而无法判定的障碍。有障碍又有上述必须解决问题的需要,人们就处于问题情境之中了。在问题情境之中的人们将为解决问题而做出巨大的努力,关于“数学是什么”的研究讨论正是这种努力的组成部分。

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